Pi’nin normal bir sayı olup olmadığı belirsiz

Kalıcı Efsane: Pi’nin normal bir sayı olup olmadığı belirsiz

Pi tüm soruların cevaplarını içeriyor mu? Pi: 3,14159226535837932……………..

Pi’nin ondalık basamaklarındaki rakamlar tamamen rastgele görünüyor. Peki gerçekten akla gelebilecek her sayı dizisini içeriyorlar mı?

Pi, aklınıza gelebilecek her sayı dizisini ve dolayısıyla evrenimiz hakkında akla gelebilecek her bilgiyi içerir. Kendinize hangi soruyu sorarsanız sorun, cevabı varsa pi sayısının ondalık basamaklarında bir yerde gizlidir, bu ve buna benzer ifadelerle tekrar tekrar karşılaşırsınız. Ancak çoğu matematikçi bunun doğru olduğuna inansa bile hala bunun için sağlam bir kanıt yok. Ve durum daha da kötüleşiyor: Hemen hemen her irrasyonel sayının ondalık basamaklarında akla gelebilecek her sayı dizisini içerdiği bilinmesine rağmen, bilinen hiçbir açık örnek yoktur.

İlk bakışta sorun çok basit görünüyor: Pi dairesel sayısı, virgülden sonra kendilerini asla tekrar etmeyen sonsuz sayıda basamak içeriyor; dolayısıyla her sayı dizisinin bu sayıya dahil edilmesi mantıklı görünüyor. Fakat bu sonuç yanlıştır. Açıkça tüm sayı dizilerini içermeyen irrasyonel bir sayıyı tanımlamak kolaydır, örneğin: 0,101001000100001… Bu sayı, iki bir arasındaki sıfırların sayısı her zaman arttığı için tekrarlanmayan sonsuz sayıda ondalık basamak içerir. 0,101001000100001… yalnızca birlerden ve sıfırlardan oluştuğu için tüm sayı dizilerini içeremez. Ve kendinizi ikili sayı sistemiyle sınırlasanız bile, bu sayıda hiç görünmeyen “11” gibi sayı dizileri vardır. Bu nedenle açıktır: Akla gelebilecek tüm rakam dizilerini içermek için irrasyonel olmak yeterli değildir.

Ancak Pi, inşa edilmiş 0,101001000100001 sayısından çok daha karmaşık görünüyor… Ve aslında Pi’nin ondalık basamaklarını görüntüleyebileceğiniz, belirli bir rakam dizisinin (kendi doğum gününüz gibi) ilk kez göründüğü çok sayıda web sitesi var. . Hangi tarihi yazarsanız yazın, onu Pi’nin ondalık basamaklarında bulacaksınız. Ve eğer Pi’nin ilk ondalık basamağındaki sıfırdan dokuza kadar olan rakamların dağılımına bakarsanız, bunların kabaca eşit bir şekilde dağıldığını görebilirsiniz.

Pi cinsinden rakamların sıklığı

Pi’nin ilk milyon ondalık basamağında 0’dan 9’a kadar olan rakamlar neredeyse eşit şekilde dağılmış gibi görünüyor

0 ……  99.959

1 ……  99.757

2 ……100.026

3…….100.230

4…….100.230

5…….100.359

6…….100.548

7……….99.800

8……… 99.985

9……..100.106

Bunlar ve diğer birçok gözlem nedeniyle uzmanlar Pi’nin “normal” olduğuna inanıyor. Matematikte, n uzunluğundaki her rakam dizisi 10-n bağıl frekansıyla bulunabiliyorsa bir sayı normal kabul edilir. Bu, “55”in normal bir sayıda ortalama olarak diğer iki basamaklı sayılar kadar sıklıkla göründüğü anlamına gelir. Normal bir sayı, yalnızca (sonsuz sayıda) ondalık basamaklarında akla gelebilecek her rakam dizisini içermekle kalmaz, aynı zamanda herhangi bir sayıyı tercih etmemelidir.

Bunun ne anlama geldiğini daha detaylı düşündüğünüzde işler ilginçleşiyor. Normal bir sayı her rakam dizisini içerdiğinden, bir sayı dizisiyle temsil edilebilecek her türlü bilgiyi de içerir: şimdiye kadar yazılmış her kitap; hâlâ yazılmayı bekleyen her kitap; herhangi bir matematiksel kanıt (zaten bilinen veya henüz bilinmeyen); Coca Cola tarifi; En sevdiğiniz şarkı veya evrenin hikayesi. Bu, normal sayılara yalnızca heyecan verici matematiksel özellikler vermekle kalmaz, aynı zamanda ilginç bir felsefi anlam da kazandırır.

Hemen hemen her sayı normaldir

Fransız matematikçi Émile Borel, 1909’da normal sayılar kavramını ortaya attı ve aynı zamanda neredeyse tüm sayıların normal olduğunu kanıtladı. “Hemen hemen hepsi”nin açık bir matematiksel anlamı vardır: Sayı doğrusunda bir noktayı işaret ederseniz, o zaman sayının normal olma ihtimali yüzde 100’dür. Bu, normal olmayan bir sayı bulmanın imkansız olduğu anlamına gelmez; sonuçta sayı doğrusu, sonlu veya tekrarlanan ondalık basamakları nedeniyle normal olamayacak sonsuz sayıda rasyonel sayı içerir. Ancak normal sayıların sayısı o kadar büyüktür ki, rasyonel sayıların sonsuzluğunu gölgede bırakır.

Ancak şaşırtıcı olan şey, bilinen normal sayıların hemen hemen hiçbir açık örneğinin bulunmamasıdır. İngiliz ekonomist David Gawen Champernowne’un 1933’te tanıttığı Champernowne sayısı gibi özel olarak oluşturulmuş birkaç normal sayı vardır: 0,12345678910111213… Artan sayıların bir dizisinden oluşur. Arthur Herbert Copeland ve Paul Erdős’in 1946’da geliştirdiği Copeland-Erdős sayısı da normaldir: 0,235711131723… ve artan asal sayılardan oluşur. Ancak bu amaç için özel olarak oluşturulan sayılar dışında normal sayıların hiçbir örneğine henüz rastlanmamıştır.

Matematiğin muhteşem dünyası

Birçok insan matematiğin karmaşık ve sıkıcı olduğunu düşünüyor. Bu seride bunu çürütmek ve favori karşı örneklerimizi sunmak istiyoruz: kötü hava koşullarından sihirli ikiye katlamalara ve vergi hilelerine kadar.

Matematikteki en basit problemin bir çözüme ihtiyacı var
Collatz varsayımı onlarca yıldır matematik dünyasını rahatsız ediyor: ilkokul öğrencileri bile bunu anlayabilir, ancak en parlak beyinler bile bunu kanıtlamayı başaramaz.

İlk bakışta gülünç derecede basit görünüyor. Ancak uzmanlar onlarca yıldır boşuna bir çözüm arıyor. Zaten Soğuk Savaş sırasında sayı teorisyeni Shizuo Kakutani şunları söyledi: “Yale’deki tüm matematikçiler yaklaşık bir ay boyunca bunun üzerinde çalıştı – hiçbir sonuç alamadılar. Chicago Üniversitesi’nde bundan bahsettiğimde de benzer bir olay yaşandı. Bu problemin Amerika Birleşik Devletleri’ndeki matematik araştırmalarını felce uğratmayı amaçlayan bir komplonun parçası olduğu konusunda şakalar yapılıyor.” 20. yüzyılın en başarılı matematikçilerinden Paul Erdös de şunları kaydetti: “Matematik muhtemelen bu tür problemleri çözmeye henüz hazır değil. .”

İfadeler Collatz varsayımına atıfta bulunuyor. Bu, içinde kaybolma eğiliminde olduğunuz, görünüşte basit görevlerden biridir. Bu nedenle deneyimli profesörler hırslı öğrencilerini Collatz varsayımına kapılmamaları ve gerçek araştırmalarını gözden kaçırmamaları konusunda sık sık uyarıyorlar. Varsayımın kendisi ilkokul öğrencilerinin bile anlayabileceği kadar basit bir şekilde formüle edilebilir: Doğal bir sayı alın. Tek ise üçle çarpın ve bir ekleyin; Çift ise ikiye bölün. x sonucuyla aynı şekilde ilerleyin: Eğer x tekse, 3x + 1 hesaplayın, aksi takdirde x⁄2 hesaplayın. Bunu olabildiğince sık tekrarlarsınız ve varsayıma göre her zaman 1 sayısını elde edersiniz.

Uzmanlar π, √2, ln(2) veya e’nin normal olduğunu tahmin ediyor. Ancak bu dördü için her rakamın karşılık gelen ondalık basamaklarda sonsuz sıklıkta görünüp görünmediği bile açık değil. 2022 yılında bilgisayar bilimcisi Emma Haruka Iwao, Pi’nin ilk 100 trilyon hanesinin değerini yayınlayarak bir dünya rekoru kırdı. Bu, artık daire sayısının 1014 ondalık basamağını bildiğimiz anlamına gelir. Bunlarda her rakam yaklaşık olarak eşit sıklıkta görünüyor; ancak teorik olarak 2 sayısı belirli bir noktadan sonra artık görünemez. Bu durumda Pi normal olmayacaktır. Ancak şu ana kadar bunu gösteren hiçbir şey yok.

Bir sayının normalliğiyle ilgili soruyu yanıtlamak son derece zor görünse de matematikçiler bir adım daha ileri gidiyor: “Mutlak normal” sayıların olup olmadığını öğrenmek istiyorlar. Bunlar her tabanda normal olan sayılardır.

Normallikten mutlak normalliğe

Örnek olarak Pi’yi ele alalım: Şu ana kadar kendimizi sayının ondalık gösterimiyle sınırladık. Bu, Pi’yi 0’dan 9’a kadar rakamları kullanarak ifade ettiğiniz ve rakamları bir araya getirme sırasının onun katlarına karşılık geldiği anlamına gelir: 3,14… = 3 · 100 + 1 · 10–1 + 4 · 10–2 + … Ancak elbette Pi başka bir sayı sistemi kullanılarak da ifade edilebilir, örneğin ikili gösterimle (yani yalnızca birler ve sıfırlarla): π = 11,00100100001111110110… = 1 · 21 + 1 · 20 + 0 · 2–1 + 0 · 2 –2 + 1 · 2–3 + … Burada virgülden sonraki sayılar onda bir veya yüzde bire değil, yarım, dördüncü veya sekizinci kısma karşılık gelir.

Bir ikili sayı için normallik kavramı da tanımlanabilir: aynı bağıl frekansa sahip tüm rakam dizilerine (bu durumda 0 ve 1’den oluşur) sahipse. Benzer şekilde diğer sayı sistemlerinde de normal sayılar tanımlanabilir. Bir sayı her notasyonda normalse, “kesinlikle normal” kabul edilir.

Bugüne kadar, neredeyse tüm sayıların kesinlikle normal olduğu kanıtlanmış olmasına rağmen, tek bir tamamen normal sayı bilinmiyor. Oluşturulan Champernowne sayısı veya Copeland-Erdős sayısıyla bunların ondalık sistemin dışında normal olup olmadığı bile belli değil. Uzmanlar, bir polinom denkleminin çözümü olarak ortaya çıkan herhangi bir irrasyonel sayının (√2 gibi cebirsel sayılar olarak adlandırılır) kesinlikle normal olduğuna inanıyor. Ancak şu ana kadar tek bir tabanda bile normal olan veya tam tersine tek bir tabanda normal olmayan bir cebirsel sayı örneği yoktur.

Sör Isaac Newton Pascal üçgeninde pi’yi buldu
Yerçekimi teorisi, diferansiyel hesap ve ışık teorisi; Newton bunların hepsini yalnızca bir yıl içinde geliştirdi. Daha az bilinen ise pi hesaplamanın en hızlı yöntemini bulmuş olmasıdır.

Pascal üçgenini okuldan hatırlayabilirsin. Ucunda 1 ile başlayan doğal sayılardan oluşan bir üçgen, onu takip eden iki taneli bir çizgi, sonraki satırda 1, 2, 1 olmak üzere üç sayı, ardından dört sayı daha var ve bu şekilde devam ediyor. Üçgen sonsuza kadar devam eder.

Tekrar söylemek zorunda kaldığım için neredeyse üzgünüm. Ama Pi gerçekten her yerde saklanıyor gibi görünüyor.

Pi daire sayısının da kesinlikle normal olduğu varsayılır. Ancak bunun için sağlam kanıt eksikliği de var. Pi’nin ondalık basamaklarını tam olarak hesaplamak için kullanılabilecek bir dizi formül olmasına rağmen, rakamların kesin yapısı sır olarak kalıyor. Ve kim bilir: Pi’nin normalliği ya da normalsizliği belki de matematikteki çözülemeyen sorulardan biridir ve bu nedenle sonsuza kadar bir sır olarak kalacaktır.

Selen Atasoy

020.00040.00060.00080.000100.000